Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.
Notions de variable, d’inconnue.
Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.
Comprendre l’intérêt d’une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d’autres disciplines).
I
Expression littérale
Définition 1 :
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Exemple 1 :
Longueur d’un cercle : $\pi \times 2 \times r$ où $r$ représente le rayon du cercle et $\pi$ est un nombre constant qui vaut environ 3,14… L’aire d’un carré est donné par $c \times c$ où c représente le côté du carré
Propriété 1 :
Simplification d’une expression littérale : On peut simplifier les expressions en supprimant le signe $\times$ si et seulement s’il est suivi d’une lettre (ou parenthèse) ou en utilisant les puissances.
Exemple 2 :
$x \times 6$ n’est pas simplifiable car le signe $\times$ est suivi de 6 mais on peut procéder comme cela : $x \times 6 = 6 \times x = 6 x$ $\pi \times 2 \times r = 2 \times \pi \times r = 2 \pi r$ $c \times c \times c = c ^3$
II
Calculer la valeur d’une expression littérale et tester une égalité
Définition 1 :
On calcule la valeur d’une expression littérale lorsque l’on attribue une valeur aux lettres contenues dans l’expression. Si une même lettre est utilisée plusieurs fois, on lui attribue le même nombre à chaque fois.
Une égalité est constituée de deux expressions littérales appelées « membres » séparées par un signe « = »
Propriété 1 :
On dit qu’une égalité est vraie (ou est vérifiée) si les deux expressions représentent le même nombre.
Exemple 2 :
$5 \times 2 = 4 + 6$ est vraie car $5 \times 2 = 10$ et $4+6=10$ $4 \times 6 = 24+3$ est fausse car $4 \times 6 = 24$ et $24+3=27$
Définition 3 :
Deux expressions littérales sont égales si et seulement si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.
Exemple 3 :
${4}x+{6} +{2}x = {2}x \times {3} +{2} \times {3} $ est vraie car ${4}x+{6}+{2}x={4}x+{2}x+{6}={6}x+{6}$ (ajoute dans l’ordre que l’on veut) ${2}x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times {3} \times x+{2} \times {3}={6} \times x+{6}={6}x+{6}$
Exemple 4 :
${3}x+{6} = {2}(x+{5})$ est fausse car si $x=1$ alors ${3}x+{6}={3} \times {1}+{6}={9}$ et ${2}(x+{5})={2} \times ({1}+{5})={2} \times {6}={12}$
III
Développement et factorisation
Propriété 1 :
Formule de la distributivité : $k \times (a+b)=k \times a+k \times b$ $k \times (a-b)=k \times a-k \times b$
Définition 1 :
Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme ou différence.
Exemple 1 :
Développer $A = {4} \times (6+2x)$ C’est un produit de 4 par (6+2x) $A = 4 \times 6+ 4 \times 2x$ $A = 24 + 8x$ C’est une somme de 24 et $8x$
Définition 2 :
Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou une différence en un produit, c’est l’inverse du développement.
Exemple 2 :
$A = \textbf{5} \times x + \textbf{5} \times {3}$ On détecte le facteur commun aux deux produits $A = {5} \times (x+{3})$ On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître. $B = {24} -{4}x$ $B = {4 \times 6} -{4} \times x$ $B = {4 \times (6 -x)}$
IV
Réduction
Définition 1 :
Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles (en regroupant les termes de même espèce). Réduire un produit, c’est l’écrire avec le moins de facteurs possibles.
Réduction d'une somme $A = {4}x+ {6}y -{7}x +{4}x^{2} - {5}y $ Je transforme les soustractions en additions $A = {4}x+{6}y+(-{7}x) +{4}x^{2}+(-{5}y)$Je regroupe les termes de même espèce, ceux ayant la même partie littérale $A = {4}x+(-{7}x)+{6}y+(-{5}y) +{4}x^{2}$ Je calcule $A = {-3}x+{1}y +{4}x^{2}$
Exemple 3 :
Réduction d'un produit $B = {5} \times {3}x \times y \times {4}x^{2}$ Je rajoute les signes $\times$ $B = {5} \times {3}\times x \times y \times {4}\times x^{2}$ Je réordonne les facteurs, lettres à droite. $B = {5} \times {3}\times {4} \times x \times x^{2} \times y $ Je calcule et réduis $B =60 \times x^{3} \times y $ Je supprime les signes $\times$ qui sont devant des lettres. $B =60 x^{3} y $
